HDMI Anschluss bei Monitor fehlt, nur VGA und DVI vorhanden.

Das am Wenigsten entwickelte Übertragungsverfahren (VGA) kannst du nicht auf HDMI trimmen - selbst wenn du irgendwelche Adapter rein klöppelst.

- Welche Ports bringt die Grafikkarte deines "neuen" PC mit?
  (Komplett-PC? - bitte mit Gerätebezeichnung vorstellen)
- Welche Ports sind an der PS4 zu finden?
- Wie ist die Bezeichnung des Monitor?
(Vielleicht findet man nach diesen Angaben einen "Konverter", der für deine Situation brauchbar ist.)

Das am Wenigsten entwickelte Übertragungsverfahren (VGA) kannst du nicht auf HDMI trimmen - selbst wenn du irgendwelche Adapter rein klöppelst.
 

Wenn wir schon bei "nicht ganz richtig" sind... dann:
Die Unterscheidung von "Adapter" und "Konverter" sollte nicht übersehen werden - und was Hannibal624 da vorstellt, ist ein Konverter, der neben den VGA-Signalen per VGA-Kabel noch mit Audiokabel anzuschließen ist, damit das "Pseudo-HDMI" nutzbar wird.
(Die Grafikkarte gibt keine Audiosignale per VGA-Port aus)

Hallo manual!
Wollte dich nicht verärgern. Ob Adapter oder Konverter, wolllte nur darauf verweisen, dass es wohl eine Möglichkeit gibt, VGA zu HDMI zu bringen.
Hilft aber dem TO leider auch nicht weiter, da ja seine Frage die PS4 betrifft, und der Monitor nur DVI Port besitzt.
Auch hier muss aber unterschieden werden, DVI ist ja nicht DVI. Gibt auch verschiedene Ports.
Ich kenne die PS4 leider nicht kann daher auch keine richtigen Tips geben.
Aber Google hat jede Menge dazu zu vergeben.

https://www.amazon.de/Vergoldete-Konverter-Ultrabook-Chromebook-Streaming/dp/B016HPMDWY/ref=pd_cp_23_2?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=DAKY6M6TPN8A3HG68FNY

Damit betreibe ich Monitore mit VGA-Anschluss als Zusatzmonitor am Laptop.

Und warum nicht? Der TO will die PS4 welche einen HDMI Ausgang aufweist mit einem Monitor verbinden welcher keinen HDMI Port besitzt. So geschrieben im Anfangsthread.
Könnte ja sein, dass der Monitor auch einen VGA Port besitzt. Dann wäre auch dieser Adapter zu verwenden.
Für HDMI PS4 zum DVI Monitor sollte es auch mit diesem Kabel funktionieren.
https://www.amazon.de/deleyCON-Premium-HDMI-Kabel-Speed/dp/B00900QUBO/ref=sr_1_14?s=ce-de&ie=UTF8&qid=1493024081&sr=1-14&keywords=HDMI+zu+DVI+TV

Zur PS4 - Grundlagen / Installieren
http://manuals.playstation.net/document/de/ps4/basic/install.html

... neuen Gaming PC. Die Idee dahinter war, dass ich meine PS 4 daran anschliessen könnte.

Aber da kam der Schock: Der Monitor hat kein HDMI Anschluss!

OK, @manual hast vollkommen Recht. Wurde nicht genannt was er tatsächlich wo anschließen will. Ich habe eben angenommen PS4 am Monitor, da ich bisher noch keinen PC mit HDMI Eingang vor mir hatte. Denke diesen gibt es gar nicht.Es sei denn, es ist eine TV Karte mit Recorderfunktion und HDMI IN eingebaut.
Warten wir also ab bis sich der TO meldet, richtig seine Hardware beschreibt und uns mitteilt, was genau wie verbunden werden soll.

Also, ich dachte mir das so:
Die PS 4 wollte ich am Monitor anschliessen, da der Monitor aber kein HDMI Eingang hat, geht das nicht. Der Monitor hat nur DVI und VGA.

Traust du dich nicht, hier mal die technische Bezeichnung zu schreiben, die auf einem Etilett am Display (Rückseite ?) ablesbar ist?
Das würde den fremden "Mitdenkern" bessere Möglichkeiten für weitere Überlegungen einräumen.

Der Monitor / das Display soll nicht gleichzeitig von PC und PS4 als Anzeigegerät genutzt werden?
Du würdest im Bedarfsfall die Anschlußleitung umstecken?