Ein paar Fragen

Hallo,
Wenn Ihr Zeit und Lust habt könnt ihr ja mal folgende Fragen beantworten:



1) Aus der Menge M der natürlichen Zahlen von 1 bis 120 wählt man 13 Zahlen, welche paarweise verschieden sind, aus.

a) Zeigen Sie: Unter den gewählten Zahlen befinden sich mindestens zwei, die sich um höchstens 9 unterscheiden.

b) Zeigen Sie: Unter den gewählten Zahlen befinden sich mindestens zwei, deren Differenz ein Vielfaches von 10 ist.

c) Kann man bei b( mit weniger als 13 Zahlen auskommen?



2) Wie viele fünfstellige natürlichen Zahlen gibt es, deren letzte Ziffer eine 4 ist und die durch 6 teilbar sind?

Hinweis: Eine natürliche Zahl heißt n-stellig, wenn sie mit n Ziffern im dekadischen System dargestellt werden kann, wobei die 1. Ziffer ungleich null ist.



3) Die Felder eines Quadrats aus 4 x 4 Teilquadraten sollen mit je einer von 4 Farben eingefärbt werden. Die Färbung soll so erfolgen, dass bei Drehung des Quadrats um 90°, 180° und 270° um den Quadratmittelpunkt je zwei Felder gleicher Farbe auf zwei Felder gleicher Farbe abgebildet werden; letztgenannte Farbe soll aber von der erstgennanten verschieden sein.

Wie viele solche Möglichkeiten gibt es? Möglichkeiten, die durch Drehung auseinander hervorgehen, sollen nicht verschieden gelten.



4) Peter versucht spitzwinklige Dreiecke zu finden, mit denen sich ein weiteres Dreieck zusammenlegen lässt. Nach vielen Versuchen meint er: ,,Mit 4 Dreiecken kann man die Aufgabe lösen, mit weniger als 4 Dreiecken aber nicht." Hat Peter recht?



5) In einer Ebene liegen zwei Strecken. Man zeige, dass es möglich ist, unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal eine Gerade zu konstruieren, so dass die senkrechten Projektionen der Strecken auf diese Gerade gleich lang sind.

Hinweis: Ist die Prjektion ein einzelner Punkt, so ist ihre Länge 0.



6) Es seien x, y reelle Zahlen mit y "kleinergleich" 0 und y * (Y + 1)². Zeigen Sie, dass dann y*(y-1) "kleinergleich" x² gilt.



So, viel Spaß beim lösen dieser Aufgaben