Groß-/Kleinschreibung beachtet?
Haken rein / raus bei "Anmeldung durch gesicherte Kennwortauthentifizierung".
Postausgangsserver "Gleiche Einstellungen wie der Posteingangsserver" einstellen.

Möglicherweise ist das Passwort für den Mailserver abweichend vom Windows-Anmeldekonto. Dann fehlt Dir die automatische Authentifizierung wenn Du Dich anders einloggst.

Da kann dann nur den "echte" Admin helfen, der die Konten eingerichtet hat. 

Wenn sich die Mailserver tatsächlich im betriebseigenen Intranet befinden, sollten diese von außen jedenfalls anders erreichbar sein, als wäre man im Intranet eingeloggt.
Hast Du einen Zugang in das Intranet und kannst Mails per Browser aufrufen? - Dann kannst Du doch bis der "Hardadmin" des Unternehmens ansprechbar ist, die Mails "weiterleiten" auf Dein privates Mailkonto, das sicher nicht im Intranet angelegt ist und die Mails von da abholen.

(Obwohl es auch Unternehmer geben soll, die das Einrichten privater Mailaccounts im Firmen-Intranet "völlig uneigennützig" dulden.    - Ein Schelm, wer Böses dabei denkt...)

DNS mal auf Firmen-DNS umgestellt ?
Sonst sucht der Provider die vergeblich , wenn Intranet .

ipconfig /all vom Firmen-PC wäre hilfreich .
Mal anrufen , machen lassen und DNS durchgeben lassen .